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向量的叉烧鸡

小宇治水2018-12-12 11:08:15

叉积

向量的乘积有两种形式,一种是点积,一种是叉积。

点积我们上节课讲过了,得出来的是个实数,那么叉积又是啥呢?

假如我们把向量的乘积比作是交配,那么按照常理,向量和向量交配,生出来的孩子理应还是个向量,对吧?

所以我们就引出了叉积的概念。


我们要搞清楚叉积,首先是要明白这样几件事:

  1. 运算规则

  2. 向量方向

  3. 几何意义


运算规则

叉积和点积的运算规则完全不同,写法也不一样。

叉积,我们用axb来表示。

那么叉积的运算规则到底是怎样的呢?

其实也简单,就是交叉相乘呗。

2x2阵列:

3x3阵列:

这货其实还有个牛逼哄哄的名字,叫“行列式”,大家都听过吧?线性代数里面专门学过这个。

这里我们暂时只需了解2x2和3x3行列式如何求解即可。

下面我们给出叉积的公式:

假设有两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),

则有:

我们求解一下看看。根据行列式的交叉相乘规则:

由计算得知,叉积的运算结果仍旧是个向量,而点积却是个实数。


疑问?

那么,很多同学可能会有这样的疑问:

线性代数里面的行列式,为啥跟向量的叉积扯上关系了呢?

大部分人对线代这门学科的理解,都只是停留在数值计算的层面上了。教材是些干巴巴的定理公式大杂烩,老师也只会教给你如何利用公式计算出结果。

老师们最值得炫耀、最拿手的绝技,就是解题的技巧了。但你即使掌握了这些独门绝技也没啥卵用(除了考研),因为用计算机程序运算出来的结果,比你用纸笔划拉半天来的准确的多的多——你不会还妄想战胜阿尔法狗吧?

其实我们学习了高等数学,多数人不知道用来干啥。数学最核心的关键是建模,是如何将现实问题抽象成数学模型来解决的思维模式。没有这种思维,那你学到的就是垃圾,毫无用处。


叉乘例题

a=(1,2,-1),b=(-2,3,1),求axb

解:


向量方向

我们前面搞清楚了叉积的运算规则,我们也知道,叉积得出来的结果仍旧是个向量。那这个向量的方向是怎样的呢?

请看下图:

请伸出你的右手,然后四个指头顺着a到b的方向旋转时,拇指所指的方向就是向量axb的方向。

哦,也就是说,叉积的方向,是跟a向量和b向量都垂直哒!

大家是否朦胧的记得,我们高中立几,有个法向量的概念。

法向量

设a向量和b向量是平面α内两个不共线的非零向量。那么如果法向量nanb,nα

有点印象了对吧?

法向量其实就是叉积axb

那么法向量有啥用呢?

譬如求两个平面的夹角(二面角):

n1n2是二面角两个半平面α、β的法向量,那么α和β两个平面的夹角,可以转化为n1和n2两个向量的夹角(二者互补关系)。

好啦,咱们就不多再深入啦,毕竟我们这是在学习高等数学,至于高中的那些题目,其实除了考试真的没啥鸟用,你仍旧丢还给老师们好啦。


几何意义

弄清楚了叉积方向后,那么叉积的大小又是什么呢?

我们是这么定义的:

那么大家看到这个公式,能想到什么呢?

看下图:

三角形面积=1/2*底*高,这个底是|a|,高是|b|sinθ,所以两个三角形面积就是|a||b|sinθ,就是向量a和向量b围成的平行四边形的面积

哇塞,我们对比下前面学过点积:

发现二者何其类似!这也是数学世界和谐性的体现吧!不过,千万别把他俩搞混哦~~


总结一下

向量axb的叉积,使用交叉运算后,结果仍旧还是个向量。

这个向量的方向遵守右手法则,分别垂直于向量a与b(或者说是向量a与b形成的平面);而其大小,则是a与b围成的平行四边形的面积。


一个小问题

大家是否明白了叉积的概念了呢?好,下面问大家个小问题:

axb=bxa吗?也就是说,叉积满足交换律吗?

答案是不满足!因为方向不一样啊!

正确的答案应该是:

axb=-bxa


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